Question

已知函數(shù)f （x）=lnx，g（x）=e^x．
（I）若函數(shù)φ （x） = f （x）－，求函數(shù)φ （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A（x₀，f （x₀））處的切線．證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

（1）增區(qū)間為；（2）見解析.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
解：（Ⅰ） ，
．             2分
∵且，
∴
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．   4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切線的方程為,
即,  ①             6分
設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，
∵，∴，∴．      8分
∴直線也為，
即， ②                 9分
由①②得 ，
∴．          11分
下證：在區(qū)間（1，+）上存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．
又，，          13分
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一．                  
故結(jié)論成立． 14分