【題目】如圖，在正四棱柱
中，
，
，建立如圖所示的空間直角坐標系
.
（1）若
，求異面直線
與
所成角的大小；
（2）若
，求直線與平面
所成角的正弦值；
（3）若二面角
的大小為
，求實數
的值.
【答案】（1）異面直線
與
所成角為
；（2）與平面
所成角的正弦值為
；（3）二面角
的大小為
，
的值為
.
【解析】分析：（1）由題意可得
和
的坐標，可得夾角的余弦值；
（2）求出平面的法向量，即可求出答案；
（3）設
，表示出平面的法向量和平面
的法向量，利用二面角
的大小為，即可求出t.
詳解：（1）當
時，
，，
，
，
，
則
，
，
故
，
所以異面直線與所成角為．
（2）當
時，，，
，
，
，
則
，
，
設平面的法向量
，
則由
得，
不妨取
，則
， 此時
，
設與平面所成角為
，因為
，
則
，
所以與平面所成角的正弦值為．
（3）由得，
，
，
設平面的法向量
，
則由
得，
不妨取
，則
， 此時
，
又平面的法向量
，
故
，解得
，
由圖形得二面角大于
，所以符合題意．
所以二面角的大小為，的值為．
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
三個警亭有直道相通，已知
在
的正北方向6千米處，
在的正東方向
千米處.
（1）警員甲從出發，沿
行至點
處，此時
，求
的距離；
（2）警員甲從出發沿前往，警員乙從出發沿
前往，兩人同時出發，甲的速度為3千米/小時，乙的速度為6千米/小時.兩人通過專用對講機保持聯系，乙到達后原地等待，直到甲到達時任務結束.若對講機的有效通話距離不超過9千米，試問兩人通過對講機能保持聯系的總時長？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了鞏固全國文明城市創建成果，今年吉安市開展了拆除違章搭建鐵皮棚專項整治行為.為了了解市民對此項工作的“支持”與“反對”態度，隨機從存在違章搭建的戶主中抽取了男性、女性共
名進行調查，調查結果如下：
支持 | 反對 | 合計 | |
男性 |
|
|
|
女性 |
|
|
|
合計 |
|
|
|
（1）根據以上數據，判斷是否有
的把握認為對此項工作的“支持”與“反對”態度與“性別”有關；
（2）現從參與調查的女戶主中按此項工作的“支持”與“反對”態度用分層抽樣的方法抽取
人，從抽取的人中再隨機地抽取
人贈送小禮品，記這人中持“支持”態度的有
人，求的分布列與數學期望.
參考公式：
，其中
.
參考數據：
|
|
|
|
|
|
|
|
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 某汽車租賃公司為了調查A, B兩種車型的出租情況，現隨機抽取這兩種車型各50輛，分別統計了每輛車在某個星期內的出租天數，統計數據如下表:
A型車
出租天數 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
車輛數 | 3 | 30 | 5 | 7 | 5 |
B型車
出租天數 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
車輛數 | 10 | 10 | 15 | 10 | 5 |
(1)試根據上面的統計數據，判斷這兩種車型在本星期內出租天數的方差的大小關系(只需寫出結果);
(2)現從出租天數為3天的汽車(僅限A, B兩種車型)中隨機抽取一輛，試估計這輛汽車是A型車的概率;
(3)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要購買一輛汽車，請你根據所學的統計知識，給出建議應該購買哪一種車型，并說明你的理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
（
）的焦點為
，拋物線上存在一點
到焦點的距離為3，且點在圓
：
上.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知橢圓
：
（
）的一個焦點與拋物線的焦點重合，且離心率為
.直線
：
交橢圓于
，
兩個不同的點，若原點
在以線段
為直徑的圓的外部，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著人們經濟收入的不斷增長，個人購買家庭轎車已不再是一種時尚．車的使用費用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費用到底會增長多少，一直是購車一族非常關心的問題．某汽車銷售公司做了一次抽樣調查，并統計得出某款車的使用年限
（單位：年）與所支出的總費用
（單位：萬元）有如下的數據資料：
使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
總費用 | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料知對呈線性相關關系．
線性回歸方程系數公式：
，
.
（1）試求線性回歸方程
的回歸系數
，
；
（2）當使用年限為10年時，估計車的使用總費用．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E為棱PD中點．
（1）求證：PD⊥平面ABE；
（2）若F為AB中點， 
，試確定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為- 
． 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列
的前n項和為
， 
， 
，數列
滿足： 
， 
， 
，數列
的前n項和為
（1）求數列
的通項公式及前n項和；
（2）求數列
的通項公式及前n項和；
（3）記集合
，若M的子集個數為16，求實數
的取值范圍.
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