【題目】如圖，在三棱錐
中，平面
平面
，
為棱
上的一點，且
，
為棱
的中點，
為棱
上的一點，若
平面
，
是邊長為4的正三角形，
，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求直線
與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
(1)要證平面
平面
轉證
平面
，結合條件面面垂直可證；
(2)先證明
平面
以
為坐標原點，
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求出直線
與平面
所成角的正弦值.
（1）取
的中點
，連結
，
因為
，所以
，
因為
平面，
平面，
平面
平面
，所以
，
又因為
，所以
，
所以為
的中點，又因為
為
的中點，
所以
，所以
，
因為平面
平面
，平面平面
，
平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知
，
在
中，由余弦定理得
，所以
，
所以
，所以
，
因為平面平面，平面平面，
所以平面.
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系
，則
，
，
，
所以
，
，
設平面的法向量為
，
由
得
，取
，則
，
，所以
.
又
，
，
，
設直線平面所成角為
.
則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
100分闖關期末沖刺系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四個命題：
①函數
的最大值為1；
②已知集合
，則集合A的真子集個數為3；
③若
為銳角三角形，則有
；
④“
”是“函數
在區間
內單調遞增”的充分必要條件.
其中正確的命題是______.（填序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M為橢圓上第一象限內一動點，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線MB與x軸交于點C，直線MA與y軸交于點D，求證：四邊形ABCD的面積為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】試問:能否把2008表示成
的形式?如果可以,這種表示方式是否有無限多個?其中,m、n均為大于100且小于170的正整數,且
;
均為兩兩不相等的小于6的正有理數,且
均為大于1且小于5的正整數,同時, 兩兩不相等,
也兩兩不相等請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝x
，g(x)＝2x+a，若x1∈[
，1]，x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數a的取值范圍是( )
A.a≤1B.a≥1C.a≤2D.a≥2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點F為拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點，點A（2，m）在拋物線E上，且|AF|＝3，
（1）求拋物線E的方程；
（2）已知點G（﹣1，0），延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】推進垃圾分類處理，是落實綠色發展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰的重要環節.為了解居民對垃圾分類的了解程度，某社區居委會隨機抽取1000名社區居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如表：
得分 |
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男性 人數 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性 人數 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
（1）從該社區隨機抽取一名居民參與問卷測試，試估計其得分不低于60分的概率；
（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）兩類，完成2×2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關？
不太了解 | 比較了解 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 |
（3）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取10人，現從這10人中隨機抽取3人作為環保宣傳隊長，設3人中男性隊長的人數為ξ，求ξ的分布列和期望.
附：
，（n=a+b+c+d）.
臨界值表：
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