Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.

Answer 1

（1） ；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判定的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，x∈(0，+∞)，
∴，，，進(jìn)而得到切線方程。
（2）∵，
∴，x∈(0，+∞)，
令，x∈(0，+∞).，對于參數(shù)a分情況討論得到結(jié)論。
解：（1）當(dāng)時(shí)，，x∈(0，+∞)， ……1分
∴，，，……4分
所以切線方程為 ……5分
（2）∵，
∴，x∈(0，+∞)，……7分
令，x∈(0，+∞).
① 當(dāng)時(shí)，，x∈(0，+∞)，所以
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；……9分
② 當(dāng)時(shí)，由，解得，.
ⅰ）若，，即恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增； ……11分
ⅱ）若，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
……14分
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減
……14分