Question

（2011•鹽城模擬）已知函數f（x）=|x²-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），則a²b的最小值是

-16

．

Answer 1

分析：由題意可得 a²-6=6-b²，即 a²+b²=12，-2

3

＜b＜0，故g（b）=a²b=（12-b²） b=12b-b³．利用導數
研究函數的單調性，根據函數的單調性求函數的最小值．

解答：解：∵函數f（x）=|x²-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），∴a²-6=6-b²，即 a²+b²=12．
∴-

6

＜b＜0，∴a²b=（12-b²） b=12b-b³．
設g（b）=12b-b³，則 g'（b）=12-3b²，令 g'（b）=0，解得b=-2，
所以，g（b）在（-

6

，-2）上單調遞減，g（b）在[-2，0）上單調增，
故g（b）最小值是g（-2）=-24+8=-16，
故答案為-16．

點評：本題主要考查二次函數的性質應用，利用導數研究函數的單調性，根據函數的單調性求函數的最小值，
屬于基礎題．