Question

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明講 如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.

求證：（1）；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC.

Answer 1

（1）連結AD所以∠ADB=90°又EF⊥AB，∠EFA=90°則A、D、E、F四點共圓，∴∠DEA=∠DFA（2）由(1)知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴即：AB•AF=AE•AC
∴ BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB(BF-AF)=AB²

試題分析：(1) 連結AD
因為AB為圓的直徑，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°
則A、D、E、F四點共圓
∴∠DEA=∠DFA
(2) 由(1)知，BD•BE=BA•BF
又△ABC∽△AEF
∴
即：AB•AF=AE•AC
∴ BE•BD-AE•AC
=BA•BF-AB•AF
=AB(BF-AF)
=AB²
點評：與圓相關的證明角相等問題結合圓中的性質，圓中相等的角構成的相似三角形邊的長度比例關系