Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，點在橢圓上，線段與軸的交點滿足.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)圓是以為直徑的圓，一直線與之相切，并與橢圓交于不同的兩點、，當且滿足時，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

（2）.

【解析】分析：（1）由題意，列出關于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）由圓與直線相切，和，聯立方程組，利用一元二次方程的根與系數的關系及韋達定理，求得的取值范圍，進而得到三角形面積的表達式，求解面積的取值范圍.

詳解：（Ⅰ）因為，所以是線段的中點，所以是的中位線，又所以,所以又因為，

解得，所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）因為直線與圓相切，所以，即

聯立得.

設

因為直線與橢圓交于不同的兩點、，

所以，

，

，又因為，所以

解得.

，

設，則單調遞增，

所以，即