Question

【題目】已知函數，，其中為常數，是自然對數的底數.

（1）設，若函數在區間上有極值點，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，恒成立.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1），則，若在上有極值點，則在上有變號零點，設研究單調性使得函數和x軸有兩個交點即可；（2）要證成立，，

分別求得左式的最大值和右式的最小值，證得最大值小于最小值即可.

解析：

（1）由題意，，則，

由題意，若在上有極值點，

則在上有變號零點.

令，即，

設，，

故，

則，，，，

又，，

，

即.

故若函數在上有極值點，

只需

則，

所以的取值范圍為.

（2）由題意，知要證成立.

設，，

則，

當時，，

當時，，

所以當時，取得最大值.

所以.

設，，

則，

因為，則，

故在區間內單調遞增，

故，即.

所以，

故.

綜上，當時，.

命題得證.