Question

【題目】已知圓過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)和短軸的端點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方）．為圓上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），直線分別與橢圓交于點(diǎn)，其中點(diǎn)構(gòu)成四邊形．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，再根據(jù)的關(guān)系，可求出的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出直線的方程，并將其與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式求出，然后求出，即可求出四邊形面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出取值范圍即可.

（1）由題意可知，則，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）因?yàn)?/span>為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不與重合，所以，直線的斜率存在且不為0.

設(shè)直線，直線，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得，

消去并整理得，

則，

設(shè)，則，

所以，

因?yàn)橹本�與直線平行，所以兩直線分別與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)相等，

用代替，可得，

所以四邊形的面積．

因?yàn)?/span>，所以，

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，，

即四邊形面積的取值范圍為．