Question

有四個關于三角函數的命題：p₁：sin15°+cos15°＞sin16°+cos16°；p₂：若一個三角形兩內角α、β滿足sinα•cosβ＜0，則此三角形為鈍角三角形； p₃：對任意的x∈[0，π]，都有

1-cos2x 2

=sinx；p₄：要得到函數y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將函數y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位．其中為假命題的是（　　）

A．p₁，p₄

B．p₂，p₄

C．p₁，p₃

D．p₂，p₄

Answer 1

分析：p₁：先分別將sin15°+cos15°，sin16°+cos16°都化成關于不同角的正弦函數的形式，再利用三角函數的單調性即可比較它們的大小；
p₂：若一個三角形兩內角α、β滿足sinα•cosβ＜0，說明一個角是鈍角，即可判斷正誤；
P₃將根號中的式子利用二倍角公式化為平方形式，再注意正弦函數的符號即可判斷正誤．
p₄：要得到函數y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將函數y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

2

個單位．即可判斷結論的正誤；

解答：解：p₁：∵a=sin15°+cos15°=

2

sin（45°+15°）=

2

sin60°；
b=sin16°+cos16=

2

sin（45°+16°）=

2

sin61°；
又函數y=

2

sinx在（0°，90°）上是增函數，
∴

2

sin61°＜

2

sin61°
sin15°+cos15°＜sin16°+cos16°，
故P₁錯誤；
p₂：若一個三角形兩內角α、β滿足sinα•cosβ＜0，所以cosβ＜0，則此三角形為鈍角三角形；正確．
P₃：?x∈[0，π]，sinx＞0，且1-cos2x=2sin²x，所以

1-cos2x 2

=sinx正確；
p₄：將函數y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位．得到函數y=sin(

x

2

-

π

8

)的圖象，所以不正確．
綜上知，p₁，p₄是假命題
故選A．

點評：本題是綜合題，考查三角函數以及三角形的有關知識，考查知識的綜合應用，屬于基礎題．