Question

設a₁，a₂，…，a₂₀是首項為1，公比為2的等比數列．對于滿足0≤k≤19的整數k，數列b1，b2，…，b20由bn=

an+k an+k-20

當1≤n≤20-k時 當20-k＜n≤20時

確定．記M=

20

n=1

anbn．
（I）當k=1時，求M的值；
（II）求M的最小值及相應的k的值．

Answer 1

分析：（1）先根據等比數列的通項公式求得a_n，代入到b_n中，進而把an和bn代入M=

20

n=1

anbn求得M．
（2）根據（1）中的a_n和b_n化簡整理M=

20

n=1

anbn=

220-1

3

(2k+

220

2k

).進而利用均值不等式求得M的最小值和此時的k．

解答：解：（I）顯然a_n=2^n-1，其中1≤n≤20．
當k=1時，bn=

an+1，?當1≤n≤19時 a1，??n=20時.

所以，M=

20

n=1

anbn=

19

n-1

anan+1+a20a1=

19

n=1

2n-1•2n+219=

19

n=1

22n-1+219
=

2[(22)19-1]

22-1

+219=

239-2

3

+219.
（II）解：M=

20

n=1

anbn=

20-k

n-1

anan+k+a20a1=

20

n=21-k

anan+k-20=

20-k

n=1

2n-1•2n+k-1+

20

n=21-k

2n-1•2n+k-21=

20-k

n=1

22n+k-2+

20

n=21-k

22n+k-22
=2k•

420-k-1

4-1

+220-k•

4k-1

4-1

=

1

3

(240-k-2k)+

1

3

(220+k-220-k)
=

220-1

3

(2k+

220

2k

)≥

220-1

3

•2

220

=

231-211

3

.
當2k=

220

2k

，即k=10時，M=

231-211

3

.
所以，M的最小值為

231-211

3

，此時k=10.

點評：本題主要考查了等比數列的性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．