【題目】若數列
同時滿足：①對于任意的正整數
， 
恒成立；②對于給定的正整數
， 
對于任意的正整數
恒成立，則稱數列
是“
數列”.
（1）已知
判斷數列
是否為“
數列”，并說明理由；
（2）已知數列
是“
數列”，且存在整數
，使得
， 
， 
， 
成等差數列，證明： 
是等差數列.
【答案】（1）是（2）見解析
【解析】試題分析：（1）根據定義驗證兩個條件是否成立，由于函數為分段函數，所以分奇偶分別驗證（2）根據定義數列隔項成等差，再根據單調性確定公差相等，最后求各項通項，根據通項關系得數列
通項，根據等差數列證結論
試題解析：（1）當
為奇數時， 
，所以
.
.
當
為偶數時， 
，所以
.
.
所以，數列
是“
數列”.
（2）由題意可得： 
，
則數列
， 
， 
， 
是等差數列，設其公差為
，
數列
， 
， 
， 
是等差數列，設其公差為
，
數列
， 
， 
， 
是等差數列，設其公差為
.
因為
，所以
，
所以
，
所以
①，
②.
若
，則當
時，①不成立；
若
，則當
時，②不成立；
若
，則①和②都成立，所以
.
同理得： 
，所以
，記
.
設
，
則
.
同理可得： 
，所以
.
所以
是等差數列.
【另解】
，
，
，
以上三式相加可得： 
，所以
，
所以
，
，
，
所以
，所以
，
所以，數列
是等差數列.
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【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓
（
）的半焦距為
，原點
到經過兩點
，
的直線的距離為
．
（Ⅰ）求橢圓
的離心率；
（Ⅱ）如圖，
是圓
的一條直徑，若橢圓
經過
，
兩點，求橢圓
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，直線
.
（1）求直線
所過定點A的坐標；
（2）求直線被圓C所截得的弦長最短時直線的方程及最短弦長；
（3）已知點M(-3,4)，在直線MC上(C為圓心)，存在定點N(異于點M)，滿足：對于圓C上任一點P，都有
為一常數， 試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如果一個數列從第二項起，后一項與前一項的和相等且為同一常數，這樣的數列叫“等和數列”，這個常數叫公和．給出下列命題：
①“等和數列”一定是常數數列；
②如果一個數列既是等差數列又是“等和數列”，則這個數列一定是常數列；
③如果一個數列既是等比數列又是“等和數列”，則這個數列一定是常數列；
④數列
是“等和數列”且公和
，則其前
項之和
；
其中，正確的命題為__________．（請填出所有正確命題的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為2。
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在一點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有
成立？若存在，求點P的坐標與直線l的方程；若不存在，說明理由。
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【題目】對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下，頻率分布直方圖如圖：
分組 | 頻數 | 頻率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 24 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[10，15）內的人數；
（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中， 
為正三角形，平面
平面
， 
， 
， 
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積；
（Ⅲ）在棱
上是否存在點
，使得
平面
?若存在，請確定點
的位置并證明；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生參加4門學科的學業水平測試，每門得
等級的概率都是
，該學生各學科等級成績彼此獨立.規定：有一門學科獲
等級加1分，有兩門學科獲
等級加2分，有三門學科獲
等級加3分，四門學科全獲
等級則加5分，記
表示該生的加分數， 
表示該生獲
等級的學科門數與未獲
等級學科門數的差的絕對值.
（1）求
的數學期望；
（2）求
的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.
(1)當a=3時，求A∩B；
(2)若a>0，且A∩B=
，求實數a的取值范圍．
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