Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，曲線總在曲線的下方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減;(2) .

【解析】試題分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；；（2）原命題等價于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立，可化為恒成立，只需大于的最大值即可.

試題解析：（1）由可得的定義域為，且，

若，則，函數在上單調遞增；

若，則當時，，在上單調遞增，

當時，，在上單調遞減.

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）原命題等價于不等式在上恒成立，

即，不等式恒成立.

∵當時，，∴，

即證當時，大于的最大值.

又∵當時，，∴，

綜上所述，.

【方法點晴】本題主要考查利用導數研究函數的單調性以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數形結合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法 ① 求得 的范圍.