Question

【題目】如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱， ， 兩兩垂直， 為等邊三角形， 為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知條件利用勾股定理得， ，得進(jìn)行證明；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，通過(guò)證明平面來(lái)證得結(jié)論；（Ⅲ）以、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量的夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>， ， 兩兩垂直，

所以，

又△為等邊三角形，

所以 ，故

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、

因?yàn)?/span>， ，所以

，所以平面

所以

（Ⅲ）如圖建立空間坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>，可設(shè),則

由（Ⅰ）同理可得

因?yàn)?/span>，

所以

所以設(shè)（）

所以，所以

平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為則

取則所以，