Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α＞β），f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)a₁=1，（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n＞α；
（3）記（n=1，2，…），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α＞β）可求得；
（2）由f'（x）=2x+1，=，由基本不等式可知，依此有
（3），，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，由其前n項(xiàng)和公式求解．
解答：解：（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α＞β），
∴；
（2）f'（x）=2x+1，
=，
∵a₁=1，
∴有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
∴，同樣，（n=1，2），

（3）
而α+β=-1，即α+1=-β，，
同理，
又
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，還考查了數(shù)列的遞推與前n項(xiàng)和公式．