Question

【題目】已知的三個頂點都在橢圓C：上，且過橢圓的左焦點F，O為坐標原點，M在上，且.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）法一（代數法）設：，，聯立方程組，消去m得，即可推出結果.

法二（幾何法）由已知可得，，說明M的軌跡為以為直徑的圓（經檢驗，原點也符合題意）.求解即可.

（2）由（1）知，M的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，設，則，求出的表達式，利用二次函數的性質求解最大值與最小值即可.

（1）法一（代數法）

由已知可得，故當直線斜率不為0時，可設：，

由消去m得（）

經檢驗，當直線斜率為0，即m存在時，也符合上式，

故點M的軌跡方程為：.

法二（幾何法）

由已知可得，，

所以M的軌跡為以為直徑的圓（經檢驗，原點也符合題意），

∴M的軌跡方程為：.

（2）由（1）知，M的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，設

則（），

可得，

當時，

當時，，

所以的取值范圍是.