Question

(本小題滿分12分)
如圖，在體積為1的三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1=1，P為線段AB上的動點.

(1)求證：CA1⊥C1P；
(2)當AP為何值時，二面角C1－PB1－A1的大小為？

Answer 1

（1）證明略
（2）2－

解：(1)證明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.
又∵AB⊥AC，
∴以A為原點，AC，AB，AA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標系.
又∵VABC－A1B1C1＝AB×AC×AA1＝1，∴AB＝2.(2分)
設AP＝m，則P(0，m,0)，而C1(1,0,1)，C(1,0,0)，A1(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，m，－1)，
∴·＝(－1)×(－1)＋0×m＋1×(－1)＝0，
∴CA1⊥C1P.(6分)
(2)設平面C1PB1的一個法向量n＝(x，y，z)
令y＝1，則n＝(2,1，m－2)，(9分)
而平面A1B1P的一個法向量＝(1,0,0)，
依題意可知cos＝＝＝，
∴m＝2＋(舍去)或m＝2－.
∴當AP＝2－時，二面角C1－PB1－A1的大小為.(12分)