Question

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點．

（Ⅰ）證明 平面EDB；
（Ⅱ）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）令AC、BD交于點O，連接OE，證明OE∥AP，即可證明AP∥面BDE；（Ⅱ）先找到直線與平面所成的角，令F是CD中點，又E是PC中點，連結EF，BF，可以證明EF⊥面ABCD，故∠EBF為面BE與面ABCD所成的角，在Rt⊿BEF中求出其正切值.
試題解析：（Ⅰ）令AC、BD交于點O，連接OE,∵O是AC中點，又E是PC中點
∴ OE∥AP                                  3分
又OE面BDE，AP面BDE                  5分
∴AP∥面BDE                                    6分
（Ⅱ）令F是CD中點，又E是PC中點，連結EF，BF
∴EF∥PD，又PD⊥面ABCD
∴EF⊥面ABCD                                   8分
∴∠EBF為面BE與面ABCD所成的角.
令PD=CD=2a
則CD="EF=a," BF=                  10分
在Rt⊿BEF中，
故BE與面ABCD所成角的正切是.              12分