Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E為PC的中點，
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：PB⊥AD；
（3）（文科）求三棱錐C-PDB的體積．
（3）（理科） 求直線PC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，連接EO，根據菱形的性質及三角形中位線定理可得PA∥EO，進而根據線面平行的判定定理可得PA∥平面BDE；
（2）取AD的中點F，連接PF，BF，由等腰三角形三線合一可得BF⊥AD，PF⊥AD，進而由線面垂直的判定定理得到AD⊥平面ABCD，最后再由線面垂直的定義得到結論．
（3）（文科）三棱錐C-PDB是一個以△BCD為底面，以PF為高的棱錐，求出底面面積和高代入棱錐體積公式可得答案．
（3）（理科）連接CF，可得∠PCF即為直線PC與平面ABCD所成角，解△PCF可得答案．

解答：證明：連接AC交BD于O，連接EO，
∵E為PC的中點，O為AC中點
∴PA∥EO
又∵PA?平面BDE；EO?平面BDE；
∴PA∥平面BDE；
（2）取AD的中點F，連接PF，BF，
∵PA=PD，
∴PF⊥AD
又∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴在等邊三角形ABD中，BF⊥AD
又∵PF∩BF=F
∴AD⊥平面ABCD，
又∵PB?平面ABCD，
∴PB⊥AD；
（3）（文科）∵側面PAD⊥平面ABCD，側面PAD∩平面ABCD=AD
又∵PF⊥AD，
∴PF⊥平面ABCD
∴三棱錐C-PDB是一個以△BCD為底面，以PF為高的棱錐，
∴三棱錐C-PDB的體積V=

1

3

•S_△BCD•PF=

1

3

•（

1

2

×2×2×sin60°）•

3

=1
（3）（理科）連接CF，
∵△ABD為正三角形，
∴BF⊥AD，
又∵側面PAD⊥平面ABCD，側面PAD∩平面ABCD=AD
又∵PF⊥AD，
∴PF⊥平面ABCD
∴∠PCF即為直線PC與平面ABCD所成角，
在△CDF中，CD=2，CF=1，∠CDF=120°
由余弦定理得CF=

7

在Rt△PFC中，PF=

3

∴tan∠PCF=

PF

CF

=

21

7

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，棱錐的體積，其中熟練掌握空間直線與平面的位置關系及判定方法是解答的關鍵．