Question

設直線x+2y+4=0和圓x²+y²-2x-15=0相交于點A，B．
（1）求弦AB的垂直平分線方程；
（2）求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）求出圓的圓心為C（1，0），半徑r=4．根據垂徑定理，弦AB的垂直平分線經過圓心C，由此加以計算即可得出AB的垂直平分線方程；
（2）利用點到直線的距離公式，算出圓心C（1，0）到直線x+2y+4=0的距離，再根據垂徑定理加以計算，可得弦AB的長．

解答：解：（1）∵圓x²+y²-2x-15=0化成標準方程得（x-1）²+y²=16，
∴圓心為C（1，0），半徑r=4．
∵直線x+2y+4=0和圓x²+y²-2x-15=0相交于點A、B，
∴設弦AB的垂直平分線為l：2x-y+m=0，
由垂徑定理，可知點C（1，0）在l上，得2×1-0+m=0，解之得m=-2．
因此，弦AB的垂直平分線方程為2x-y-2=0；
（2）圓心C（1，0）到直線x+2y+4=0的距離為：
d=

|1+2×0+4|

12+22

=

5

．
根據垂徑定理，得|AB|=2

r2-d2

=2

11

，即弦AB的長等于2

11

．

點評：本題給出直線與圓相交，求弦的中垂線方程并求弦的長度．著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．