Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。

已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列。

（1）       若，是否存在，有說明理由；    

（2）       找出所有數列和，使對一切,,并說明理由；

（3）       若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明。

Answer 1

解析:[解法一]（1）由，得，                 ．．．．．．2分

整理后，可得，、，為整數， 

不存在、，使等式成立。                               ．．．．．．5分

（2）若，即，                         （*）

（）若則。 

當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。            ．．．．．．7分

（）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數，，矛盾。

綜上所述，只有當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。．．．．．．10分

【解法二】設  

則

（i）                    若d=0，則  

（ii）                  若（常數）即，則d=0，矛盾

綜上所述，有，       10分

（3）  

設.

，

.               13分

取    15分

由二項展開式可得正整數M_1、M₂，使得（4-1）^2s+2=4M₁+1,

  

故當且僅當p=3^s,sN時，命題成立.

說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）

若p為偶數，則a_m+1+a_m+2+……+a_m+p為偶數，但3^k為奇數

故此等式不成立，所以，p一定為奇數。

當p=1時，則a_m+1=b_k,即4m+5=3^k，

而3^k=(4-1)^k

=

當ｋ為偶數時，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3^k成立                        1分

當p=3時，則a_m+1+a_m+2+a_m+3=b_k,即3a_m+2-b_k,  

也即3（4m+9）=3^k,所以4m+9=3^k-1,4(m+1)+5=3^k-1

由已證可知，當k-1為偶數即k為奇數時，存在m,  4m+9=3^k成立      2分

當p=5時，則a_m+1+a_m+2+……+a_m+5=b_k,即5a_m+3=b_k

也即5（4m+13）=3^k,而3^k不是5的倍數，所以，當p=5時，所要求的m不存在

故不是所有奇數都成立.                                            2分