Question

證明空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

Answer 1

【答案】分析：要尋求四點A、B、C、D共面的充要條件，自然想到共面向量定理．用表示出，進而用表示，
三者的系數之和為1即可．
解答：解：（必要性）依題意知，B、C、D三點不共線，
則由共面向量定理的推論知：四點A、B、C、D共面
?對空間任一點O，存在實數x₁、y₁，使得=+x₁+y₁
=+x₁（-）+y₁（-）
=（1-x₁-y₁）+x₁+y₁，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
則有=x+y+z，且x+y+z=1．
（充分性）對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．
所以x=1-y-z得=（1-y-z）+y+z．
=+y+z，即：，
所以四點A、B、C、D共面．
所以，空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：
對于空間任一點O，存在實數x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．
點評：本題考查共線向量與共面向量定理，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．