Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點.

(1)求證：；

(2)若平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，2：1

【解析】

（1）先證明AC⊥面SBD，然后利用線面垂直的性質證明AC⊥SD；

（2）利用線面平行的性質定理確定E的位置，然后求出SE：EC的值．

（1）證明：連BD，設AC交BD于O，由題意SO⊥AC，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以AC⊥面SBD，

所以AC⊥SD．

（2）解：若SD⊥平面PAC，

則SD⊥OP，

設正方形ABCD的邊長為a，

則SD，OD，

則OD2＝PDSD，

可得PD，

故可在SP上取一點N，使PN＝PD，

過N作PC的平行線與SC的交點即為E，連BN．

在△BDN中知BN∥PO，

又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，

得BE∥面PAC，

由于SN：NP＝2：1，

故SE：EC＝2：1．