Question

求函數y=x³-3x²+x的圖象上過原點的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：由原點的坐標代入函數解析式中判斷出原點在函數圖象上，設切線與函數的切點A的坐標，求出函數的導函數，把A的橫坐標代入導函數中求出的函數值即為切線的斜率，又根據點A和原點兩點坐標表示出切線的斜率，兩者相等得到A橫縱坐標的關系式，記作①，又因為A在函數圖象上，把A點坐標代入函數關系式中得到另外一個關于A橫縱坐標的關系式，記作②，聯立①②即可求出A的橫坐標，即可得到切線的斜率，根據求出的斜率與原點坐標寫出切線方程即可．
解答：解：易見O（0，0）在函數y=x³-3x²+x的圖象上，y′=3x²-6x+1，但O點未必是切點．
設切點A（x，y），
∵y′=3x²-6x+1，
∴切線斜率為3x²-6x+1，又切線過原點，
∴=3x²-6x+1即：y=3x³-6x²+x①
又∵切點A（x，y）y=x³-3x²+x的圖象上，
∴y=x³-3x²+x②
由①②得：x=0或x=，
∴切線方程為：y=x或5x+4y=0．
點評：此題考查學生會利用導數求切線上過某點切線方程的斜率，會根據斜率和一點坐標寫出直線的方程，是一道綜合題．