Question

【題目】已知數列滿足.

（1）若，證明：

（i）當時，有；

（ii）當時，有.

（2）若，證明：當時，有.

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析；（2）見解析.

【解析】

因為，

所以，，即數列為遞增數列.

（1）（ⅰ）由及，可得，.

于是，當時，.

故

.

因此，當時，.

（ⅱ）因為時，，

所以，，.

由，可得

.

用數學歸納法證明：

.

當時，，結論成立.

假設結論對成立，即，則結合（ⅰ）的結論可得

，

即當時，結論也成立.

綜合可知，不等式對一切都成立.

因此，當時，

，

即.

又，，則當時，有

.

（2）由于，而數列為遞增數列，故當時，有.

由，可得

.

而，于是，

.

下面證明：當時，有

.

根據及，計算得

，，，

.

故當時，結論成立.

假設結論對成立，即

.

因為，而函數在時為增函數，所以，

，

即當時，結論也成立.

綜合可知，不等式對一切都成立.

于是，當時，.

故.

所以，.