Question

【題目】已知函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區間[0，3]上有最大值5和最小值1．設f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）﹣k≥0在x∈[1，4]上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b=a（x﹣1）2+b﹣a+1，

∵a＞0，開口向上，對稱軸x=1，

∴f（x）在[0，1]遞減，在[1，3]上遞增，

∴f（x）min=f（1）=a﹣2a+1+b=1，f（x）max=f（3）=9a﹣6a+1+b=5，

∴a=b=1；

（2）解：∵f（x）= = =x+ ﹣2≥2 =2 ﹣2，當且僅當x= ∈[1，4]時取等號，

又不等式f（x）﹣k≥0在x∈[1，4]上恒成立，

∴k≤f（x），在x∈[1，4]上恒成立，

∴k≤2 ﹣2，

故k的取值范圍為（﹣∞，2 ﹣2]．

【解析】1、本題考查的是二次函數在指定區間上的最值問題。對稱軸不在指定的區間上，需要根據單調求得最值；
2、本題考查的是重要不等式的應用。

【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．