Question

（理） 某次國際象棋友誼賽在中國隊和烏克蘭隊之間舉行，比賽采用積分制，比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據以往戰況，每局中國隊贏的概率為，烏克蘭隊贏的概率為，且每局比賽輸贏互不影響．若中國隊第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若規定：當其中一方的積分達到或超過4分時，比賽不再繼續，否則，繼續進行．設隨機變量ξ表示此次比賽共進行的局數，求ξ的分布列及數學期望．
（文） 某次國際象棋友誼賽在中國隊和烏克蘭隊之間舉行，比賽采用積分制，比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據以往戰況，每局中國隊贏的概率為，烏克蘭隊贏的概率為，且每局比賽輸贏互不影響．若中國隊第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若規定：當其中一方的積分達到或超過4分時，比賽不再繼續，否則，繼續進行．求比賽進行三局就結束比賽的概率．

Answer 1

解：（理）（1）因為中國隊贏的概率即為烏克蘭隊輸的概率，同理，烏克蘭隊贏的概率即為中國隊輸的概率，兩隊和棋的概率為，又每局比賽輸贏互不影響，
而比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，
所以進行3場比賽得4分的所有可能為：①3場比賽中國隊贏2場，輸1場；②3場比賽中國隊贏1場，平兩場；利用獨立事件同時發生及互斥事件一個發生的概率公式可得：；
（2）由題意設隨機變量ξ表示此次比賽共進行的局數，則由題意得隨機變量ξ可能取2，3，4，
．
（文）（1）因為中國隊贏的概率即為烏克蘭隊輸的概率，同理，烏克蘭隊贏的概率即為中國隊輸的概率，兩隊和棋的概率為，又每局比賽輸贏互不影響，而比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，
所以進行3場比賽得4分的所有可能為：①3場比賽中國隊贏2場，輸1場；②3場比賽中國隊贏1場，平兩場；利用獨立事件同時發生及互斥事件一個發生的概率公式可得：；
（2）由題意，由于規定：當其中一方的積分達到或超過4分時，比賽不再繼續，否則，繼續進行．
則比賽進行三局就結束比賽的概率為．
分析：（理）（1）由題意由于中國隊贏的概率，即為烏克蘭隊輸的概率，同理烏克蘭隊贏的概率即為中國隊輸的概率，和棋的概率為，又每局比賽輸贏互不影響．若中國隊第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n 所以S₃=4及進行3場比賽得分和為4，又比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，所以進行3場比賽得4分的所有可能為：①3場比賽中國隊贏2場，輸1場；②3場比賽中國隊贏1場，平兩場；利用獨立事件同時發生的概率公式即可求得；
（2）由于規定：當其中一方的積分達到或超過4分時，比賽不再繼續，否則，繼續進行，隨機變量ξ表示此次比賽共進行的局數，則隨機變量ξ可能取2，3，4，利用獨立事件同時發生的概率公式即可列出分布列，并求其期望．
（文）（1）由題意由于中國隊贏的概率，即為烏克蘭隊輸的概率，同理烏克蘭隊贏的概率即為中國隊輸的概率，和棋的概率為，又每局比賽輸贏互不影響．若中國隊第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n 所以S₃=4及進行3場比賽得分和為4，又比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，所以進行3場比賽得4分的所有可能為：①3場比賽中國隊贏2場，輸1場；②3場比賽中國隊贏1場，平兩場；利用獨立事件同時發生的概率公式即可求得；
（2）由于規定：當其中一方的積分達到或超過4分時，比賽不再繼續，否則，繼續進行，利用獨立事件同時發生的概率公式即可求得則比賽3局就結束比賽的概率．
點評：此題考查了學生對于題意的理解，還考查了獨立事件同時發生及互斥事件一個發生的概率公式，還考查了隨機變量與其期望的定義．