Question

已知定點A(0,－1)，點B在圓上運動，為圓心,線段AB的垂直平分線交BF于P．(1)求動點P的軌跡的方程；若曲線被軌跡包圍著，求實數(shù)的最小值.(2)已知、，動點在圓內，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

(1)的最小值為 (2) 的取值范圍為

本試題主要是考查了橢圓方程的求解借助于橢圓的定義得到結論。然后結合向量的關系式得到坐標關系，然后利用，得到范圍。
（1）由題意得，∴
∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓，進而得到結論。而曲線化為，
則曲線是圓心在，半徑為1的圓。
，那么利用圖像法得到最值。
（2）設，由得：，
化簡得，即 ，
而 
∵點在圓內，∴，得到不等式，然后求解得到。
解：(1)由題意得，∴
∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓. ………………………3分
設橢圓方程為，
則，
∴點的軌跡方程為 ………………5分
曲線化為，
則曲線是圓心在，半徑為1的圓。
而軌跡E：為焦點在y軸上的橢圓短軸上的頂點為結合它們的圖像知：若曲線被軌跡E包圍著，則，
∴的最小值為 。………………………8分
(2)設，由得：，
化簡得，即 ，
而 …………10分
∵點在圓內，∴
∴，
∴，
∴的取值范圍為．……………1２分