Question

【題目】已知函數f（x）=e2x﹣1（x2+ax﹣2a2+1）．（a∈R）
（1）若a=1，求函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=1時，f（x）=e2x﹣1（x2+x﹣1），

f′（x）=e2x﹣1（2x2+4x﹣1），

∴f（1）=e，f′（1）=5e，

故切線方程是：y﹣e=5e（x﹣1），

即y=5ex﹣4e；

（2）解：f′（x）=e2x﹣1[2x2+（2a+2）x﹣4a2+a+2]，

令f′（x）=0，得：2x2+（2a+2）x﹣4a2+a+2=0，

而△=4（9a2﹣3），

當△≤0時，即：﹣ ≤a≤ 時，f′（x）≥0恒成立，

∴f（x）在R遞增．

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．