Question

（本小題滿分13分）已知函數．

（1）若為的極值點，求實數的值；

（2）若在上為增函數，求實數的取值范圍；

（3）當時，方程有實根，求實數的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）的取值范圍為．（3）當時，有最大值0.

【解析】(1)根據建立關于a的方程求出a的值.

(2)本小題實質是在區間上恒成立，

進一步轉化為在區間上恒成立,

然后再討論a=0和兩種情況研究.

(2) 時，方程可化為，,

問題轉化為在上有解，

即求函數的值域,然后再利用導數研究g(x)的單調區間極值最值，從而求出值域，問題得解.

解：（1）．………1分

    因為為的極值點，所以．………………………2分

    即，解得．…………………………………3分

    又當時，，從而的極值點成立．…………4分

（2）因為在區間上為增函數，

    所以在區間上恒成立．…5分

    ①當時，在上恒成立，所以上為增函數，故

符合題意．…………………………6分

②當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，

所以上恒成立．……………7分

    令，其對稱軸為，……………8分

    因為所以，從而上恒成立，只要即可，

因為，     

解得． u……………………………………9分

因為，所以．

綜上所述，的取值范圍為．…………………………………10分

（3）若時，方程可化為，．

    問題轉化為在上有解，

    即求函數的值域．……………………11分

以下給出兩種求函數值域的方法：

方法1：因為，令，

    則                    ，…………………………………12分

    所以當，從而上為增函數，

    當，從而上為減函數，………………………13分

    因此．

    而，故，

    因此當時，取得最大值0．…………………………………………14分

方法2：因為，所以．

設，則．

    當時，，所以在上單調遞增；

    當時，，所以在上單調遞減；

    因為，故必有，又，

    因此必存在實數使得，

    ，所以上單調遞減；

      當，所以上單調遞增；

      當上單調遞減；

    又因為，

    當，則，又．

    因此當時，取得最大值0.……………………………14分