Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線與曲線，分別交于第一象限內(nèi)，兩點，求.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，求得曲線普通方程，再結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得曲線的極坐標(biāo)方程，進而根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)，，分別求得，根據(jù)極坐標(biāo)的幾何意義，即可求解.

（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即

平方相加，可得曲線：，即

又由，

代入，可得曲線的極坐標(biāo)方程為，

曲線的極坐標(biāo)方程為，可得，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即.

（2）依題意可設(shè)，，

所以，且，即，

所以，

因為點在第一象限，所以，即，

所以.