Question

（2013•浙江）已知a∈R，函數f（x）=2x³﹣3（a+1）x²+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在閉區間[0，|2a|]上的最小值．

Answer 1

（1）y=6x﹣8
（2）f（x）在閉區間[0，|2a|]上的最小值為g（a）=．

（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=6x²﹣12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=6x﹣8；
（Ⅱ）記g（a）為f（x）在閉區間[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x²﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）
令f′（x）=0，得到x₁=1，x₂=a
當a＞1時，

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2a）	2a
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	0	單調遞增	極大值3a﹣1	單調遞減	極小值 a2（3﹣a）	單調遞增	4a3

比較f（0）=0和f（a）=a²（3﹣a）的大小可得g（a）=；
當a＜﹣1時，

X	0	（0，1）	1	（1，﹣2a）	﹣2a
f′x）		﹣	0	+
f（x）	0	單調遞減	極小值3a﹣1	單調遞增	﹣28a3﹣24a2

∴g（a）=3a﹣1
∴f（x）在閉區間[0，|2a|]上的最小值為g（a）=．