Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F（1，0），點P是點F關于y軸的對稱點，過點P的動直線ι交拋物線與A，B兩點．
（1）若△AOB的面積為

5

2

，求直線ι的斜率；
（2）試問在x軸上是否存在不同于點P的一點T，使得TA，TB與x軸所在的直線所成的銳角相等，若存在求出定點T的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）易求拋物線方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l：y=k（x+1）（k≠0），代入拋物線方程消掉y得x的二次方程，韋達定理、弦長公式及三角形面積公式可表示出△AOB的面積，令其為

5

2

，解出k即可；
（2）假設存在T（a，0）滿足題意，由題意可得k_AT+k_BT=0，整理為關于點A、B橫坐標的等式，代入韋達定理可得關于a的方程，解出即a值可作出判斷；

解答：（1）由題意知：拋物線方程為：y²=4x且P（-1，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知直線l斜率存在，設l：y=k（x+1）（k≠0），代入y²=4x得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由△＞0得-1＜k＜1，

x1+x2=- 2k2-4 k2 x1x2=1

，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，h=

|k|

1+k2

，
由

1

2

|AB|h=

5

2

，得k=±

4 41

41

，滿足△＞0，
（2）假設存在T（a，0）滿足題意，
因為TA，TB與x軸所在的直線所成的銳角相等，
所以直線TA，TB的斜率之和為0，則
kAT+kBT=

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

k(x1+1)(x2-a)+k(x2+1)(x1-a)

(x1-a)(x2-a)

=

k[2x1x2-(a-1)(x1+x2)-2a]

(x1-a)(x2-a)

=0，
∴k[2x₁x₂-（a-1）（x₁+x₂）-2a]=0，即k[2-(a-1)

4-2k2

k2

-2a]=0，
整理得：a-1=0，解得a=1，
∴存在T（1，0）．

點評：本題考查直線的斜率、拋物線方程及直線與圓錐曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，存在性問題，往往先假設存在，然后由此進行推導，無矛盾則存在，否則不存在．