Question

【題目】選修4一4:坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程是 (為參數），以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；

（2）已知點的極坐標分別為和，直線與曲線相交于兩點，射線

與曲線相交于點，射線與曲線相交于點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】試題分析：（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數方程化為普通方程，進而利用 即可化為極坐標方程，同理可得曲線C2的直角坐標方程；
（2）由點M1、M2的極坐標可得直角坐標：M1（0，1），M2（2，0），可得直線M1M2的方程為 此直線經過圓心，可得線段PQ是圓x2+（y-1）2=1的一條直徑，可得得OA⊥OB，A，B是橢圓上的兩點，在極坐標下，設A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+) 代入橢圓的方程即可得解.

試題解析：

（1）曲線的普通方程為，化成極坐標方程為

曲線的直角坐標方程為

（2）在直角坐標系下， ，可得直線M1M2的方程為 此直線經過圓心，可得線段是圓的直徑

∴ 由得， 是橢圓上的兩點，在極坐標下，設

分別代入中，

有和

∴

則，即.