Question

【題目】（1）討論函數的單調性；

（2）證明：當時，函數有最小值.設的最小值為，求函數的值域.

Answer 1

【答案】(1) 在單調遞增，(2) 的值域是

【解析】試題分析：（1）求出f（x）的定義域，對原函數求導，利用導函數恒大于等于0可得f（x）的單調性；

（2）求出由（1）知， 單調遞增，又由函數零點存在定理可得存在唯一，使得，則當時， ， 單調遞減；當時， ， ， 單調遞增.求出函數最小值，再由最小值為關于a的增函數可得的值域.

試題解析：

（1）的定義域為

，

當且僅當時， ，

所以在單調遞增.

（2），

由（1）知， 單調遞增，

對任意， ， ，

因此，存在唯一，使得，即，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， ， 單調遞增.

因此在處取得最小值，最小值為

.

于是，由，知單調遞增

所以，由，得.

因為單調遞增，對任意，存在唯一的， ，

使得，所以的值域是，

綜上，當時， 有最小值， 的值域是.