Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面
ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD
（Ⅱ）設PD=AD=1，求棱錐D-PBC的高．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，
則PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
則DE⊥平面PBC．
由題設知PD=1，則BD=

3

，PB=2．
根據DE•PB=PD•BD，得DE=

3

2

，
即棱錐D-PBC的高為

3

2

．