Question

【題目】已知點P為曲線C上任意一點， ，直線、的斜率之積為．

（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；；

（Ⅱ）是否存在過點的直線與橢圓交于不同的兩點、，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（I）設點，由,整理得可得.

（II）設點，取MN的中點H，則，則可轉化為,聯立直線與橢圓，結合韋達定理建立關于斜率k的方程，求解即可.

試題解析：（I）設點，則

整理得：

故曲線的軌跡方程為：

.

（II）假設存在直線滿足題意．

顯然當直線斜率不存在時，直線與橢圓不相交．

①當直線的斜率時，設直線為：

聯立，化簡得：

由，解得

設點，，則

取的中點，則，則

即 ，化簡得，無實數解，故舍去．

②當時， 為橢圓的左右頂點，顯然滿足，此時直線的方程為．

綜上可知，存在直線滿足題意，此時直線的方程為．