Question

已知函數f(x)=(x≠0)，在由正數組成的數列{a_n}中，a₁=1，f(a_n)(n∈N^*)．

(Ⅰ)求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)在數列{b_n}中，對任意正整數n，b_n·=1都成立，設S_n為數列{b_n}的前n項和，比較S_n與的大小；

(Ⅲ)在點列A_n(2n,)(n∈N^*)中，是否存在三個不同點A_k、A_l、A_m，使A_k、A_l、A_m在一條直線上?若存在，寫出一組在一條直線上的三個點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由，得.

∴,即{}是以為首項，4為公差的等差數列.

有=1+(n-1)×4=4n-3

∴a_n＞0,  ∴ 

(Ⅱ)∵

∴=b_n(4n²-1)=1，

∴

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n

∴ 

(Ⅲ)點列A_n(2n,)(n∈N*)中不可能有共線的三個點.

根據(Ⅰ)，可得A_n(2n,) (n∈N*),

令x=2n,y=,則y=.(x≥2)

點(x,y)在曲線x²-y²=1(x≥2,y≥)上，

所以，A_n(2n,)在曲線x²-y²=1(x≥2,y≥)上，而直線方程與x²-y²=1聯立組成的方程組最多有兩組不同的解，所以直線與x²-y²=1最多有兩個交點.

所以，點列A_n(2n,)(n∈N*)中不可能有共線的三個點.