Question

已知函數．
(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性;
(2)當m≤2時，證明f(x)>0．

Answer 1

（1）m=1(討論見解析)；
（2）見解析．

(1)．
由x=0是f(x)的極值點得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=e^x－ln(x+1)，定義域為(－1，+∞)，．
函數在(－1，+∞)上單調遞增，且f '(0)=0，因此當x∈(－1，0)時， f '(x)<0;當x∈(0，+∞)時， f '(x)>0．
所以f(x)在(－1，0)上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增．
(2)當m≤2，x∈(－m，+∞)時，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當m=2時， f(x)>0．
當m=2時，函數在(－2，+∞)上單調遞增．
又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一實根，且．
當時， f '(x)<0;當時， f '(x)>0，從而當時，f(x)取得最小值．
由f '(x₀)=0得=，，
故．
綜上，當m≤2時， f(x)>0．