Question

設函數f(x)＝axⁿ(1－x)＋b(x＞0)，n為正整數，a，b為常數．曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x＋y＝1.
(1)求a，b的值；
(2)求函數f(x)的最大值．

Answer 1

(1) a＝1，b＝0. (2)

(1)因為f(1)＝b，由點(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.
因為f′(x)＝anx^n－1－a(n＋1)xⁿ，所以f′(1)＝－a.
又因為切線x＋y＝1的斜率為－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝xⁿ(1－x)＝xⁿ－x^n＋1，f′(x)＝(n＋1)x^n－1.
令f′(x)＝0，解得x＝，在上，f′(x)＞0，故f(x)單調遞增；
而在上，f′(x)＜0，故f(x)單調遞減．
故f(x)在(0，＋∞)上的最大值為f＝ⁿ·＝.