Question

設函數f（x）的定義域關于原點對稱，對定義域內任意的x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且滿足：
（1）f(x1-x2)=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)•f(x2)

；
（2）當0＜x＜4時，f（x）＞0
請回答下列問題：
（1）判斷函數的奇偶性并給出理由；
（2）判斷f（x）在（0，4）上的單調性并給出理由．

Answer 1

分析：（1）對定義域內任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，同樣存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，根據條件（1）可得f（x₁-x₂）與f（x₂-x₁）的關系，即f（x）與f（-x）間的關系，根據奇偶函數定義即可判斷；
（2）任意取x₁，x₂∈（0，4），且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由奇函數性質可得f（x₁-x₂）的符號，再由條件（1）可比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據增減函數的定義即可判斷；

解答：解：（1）函數f（x）在定義域內是奇函數．
因為在定義域內，對任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且滿足：f(x1-x2)=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)•f(x2)

；
由于函數f（x）的定義域關于原點對稱，-x必與x同時在定義域內，
同樣存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，且滿足：f(-x)=f(x2-x1)=

f(x2)-f(x1)

1+f(x2)•f(x1)

，即f（x）=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）在定義域內是奇函數．
（2）函數f（x）在（0，4）上是單調遞增函數．
任意取x₁，x₂∈（0，4），且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵函數f（x）在定義域內是奇函數，且當0＜x＜4時，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＜0，
又∵f(x1-x2)=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)•f(x2)

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在（0，4）上是單調遞增函數．

點評：本題考查抽象函數奇偶性、單調性的判斷，屬中檔題，定義是解決該類問題的基本方法．