Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）=

1

2

+log2

x

1-x

圖象上任意兩點，且

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，已知點M的橫坐標為

1

2

．
（1）求點M的縱坐標；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，
①求S_n；
②已知a_n=

2 3 ，n=1 1 (Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

，其中n∈N^*，T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n≤λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求λ的最小正整數值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知M是AB的中點，由中點坐標公式可以求出M點的給坐標．
（2）①Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，即 Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)以上兩式相加后兩邊再同時除以2就得到S_n．②當n≥2時，根據題設條件，由T_n＜λ（S_n+1+1）得

2n

n+2

＜λ•

n+2

2

，∴λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

，再由均值不等式求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）依題意由

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)知M為線段AB的中點．
又∵M的橫坐標為

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即

x1+x2

2

=

1

2

?x1+x2=1
∴y1+y2=1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)=1+log21=1?

y1+y2

2

=

1

2

即M點的縱坐標為定值

1

2

．
 （2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)
∴Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+••+f(

1

n

)
兩式想加得，2S_n=n-1
Sn=

n-1

2

②當n≥2時，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

）
又n=1時，a₁=

2

3

也適合．
∴a_n=4（

1

n+1

-

1

n+2

）                                                                                     
∴Tn=

4

2×3

+

4

3×4

++

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=

2n

n+2

(n∈N*)
由

2n

n+2

≤λ(

n

2

+1)恒成立(n∈N*)?λ≥

4n

n2+4n+4

而

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

（當且僅當n=2取等號）
∴λ≥

1

2

，∴λ的最小正整數為1．

點評：本題考查了數列與函數、函數的圖象、不等式等綜合內容，函數圖象成中心對稱的有關知識，考查相關方法，考查了數列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂項相消法求數列前n項的和，利用函數與方程的思想，轉化與化歸思想解答熱點問題--有關恒成立問題．