Question

【題目】已知函數f（x）=9x﹣2a3x+3：

（1）若a=1，x∈[0，1]時，求f（x）的值域；

（2）當x∈[﹣1，1]時，求f（x）的最小值h（a）；

（3）是否存在實數m、n，同時滿足下列條件：①n＞m＞3；②當h（a）的定義域為[m，n]時，其值域為[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) [2，6]；(2) h（a）=;(3)不存在；理由見解析.

【解析】

試題（1）當a=1，x∈[0，1]時，令t=3x，t∈[1，3]，y=g(t)=, t∈[1，3]，由二次函數可求得值域。(2) φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，x∈[﹣1，1]時，t∈[，3]，對稱軸為t=a．即轉化為二次函數求值域的三點一軸分類討論問題，分a＜，≤a≤3，a＞3三類進行討論。（3）假設存在，n＞m＞3，由（2）知h（a）=12﹣6a，函數h（a）在（3，+∞）上是減函數，所以，兩式相減得6（n﹣m）=（n﹣m）（m+n），

M+n=6，矛盾。所以不存在。

試題解析：（1）∵函數f（x）=9x﹣2a3x+3，

設t=3x，t∈[1，3]，

則φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，對稱軸為t=a．

當a=1時，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]遞增，

∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，

∴函數f（x）的值域是：[2，6]；

（Ⅱ）∵函數φ（t）的對稱軸為t=a，

當x∈[﹣1，1]時，t∈[，3]，

當a＜時，ymin=h（a）=φ（）=﹣；

當≤a≤3時，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；

當a＞3時，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣6a．

故h（a）=；

（Ⅲ）假設滿足題意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，

∴函數h（a）在（3，+∞）上是減函數．

又∵h（a）的定義域為[m，n]，值域為[m2，n2]，

則，

兩式相減得6（n﹣m）=（n﹣m）（m+n），

又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，與n＞m＞3矛盾．

∴滿足題意的m，n不存在．