Question

已知數列的前項和，數列滿足 ．
（Ⅰ）求數列的通項；（Ⅱ）求數列的通項；
（Ⅲ）若，求數列的前項和．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由，得當時，，當時，，不滿足，因此所求.
（Ⅱ）由，，可得遞推公式，所以，，， ，，將上列各式兩邊累加可得，再根據等差數列前項和公式可求得（疊加消項法在求數列的通項、前項和中常常用到，其特點是根據等式兩邊結構特征，一邊相加可消掉中間項，另一邊相加可以得到某一特殊數列或是常數）.
（Ⅲ）由題意得當時，，當時，，所以所求，，
將兩式相減得，
從而可求得（錯位相減法是求數列前項和的常用方法，它適用于如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應各項之積構成的）.
試題解析：（Ⅰ）∵,
∴．              2分
∴．          3分
當時，，
∴                    4分
（Ⅱ）∵
∴，
，
，
，
以上各式相加得
．
∵ ，
∴．                     9分
（Ⅲ）由題意得
∴，
∴，
∴

=，
∴．                   13分