Question

已知三棱柱的側棱長和底面邊長均為2，在底面ABC內的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：

（1）聯結，求異面直線與所成角的大小；
（2）聯結、，求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）要求異面直線所成的角，必須按照定義作出這個角，即把異面直線平移為相交直線，求相交直線所夾的銳角或直角，當然我們一般是過異面直線中的某一條上一點作另一條直線的平行線，同時要借助已知圖形中的平行關系尋找平行線，以方便解題．本題是三棱柱，顯然有∥，因此只要在中求即可；（2）求四棱錐的體積，一般用公式，即底面面積乘以高再除以3，但本題中由于四棱錐的高不容易找，而這個棱錐在三棱柱中，因此我們可借助三棱柱來求棱錐的體積，利用棱錐體積的公式，可知三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一，因此所求四棱錐的體積正好是三棱柱的體積的三分之二，我們求出三棱柱的即可．
試題解析：(1) 聯結，并延長與交于點，則是邊上的中線．
點是正的中心，且平面，
∴且．∴．
∴．
又，
∴異面直線與所成的角為．
∴即四邊形為正方形．
∴異面直線與所成角的大小為．
(2)∵三棱柱的所有棱長都為２，
∴可求算得．
∴，
∴．
考點：（1）異面直線所成的角；（2）切割法與棱錐的體積．