Question

【題目】設F是拋物線y2＝4x的焦點，M，P，Q是拋物線上三個不同的動點，直線PM過點F，MQ∥OP，直線QP與MO交于點N．記點M，P，Q的縱坐標分別為y0，y1，y2．

（1）證明：y0＝y1﹣y2；

（2）證明：點N的橫坐標為定值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2) 證明見解析

【解析】

（1） 由兩直線平行的條件：斜率相等，運用直線的斜率公式，結合點在拋物線上，化簡可得結論（2） 因為直線過點，所以，求得直線，的方程，設點坐標為，又因為直線，交于點，化簡整理可得，的方程，分解因式即可得到定值．

證明：（1） 因為MQ∥OP，所以kMQ＝kOP，

所以，所以y0＝y1﹣y2；

（2） 因為直線PM過點F，

可得，

所以y1y0＝﹣4，

由（1）得y0＝y1﹣y2，所以y1，y2y0，

因為OM：yx，

PQ：y﹣y1（x），

即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，

設點N坐標為（m，n），又因為直線QP，MO交于點N，

所以nm，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，

可得y0，4m﹣（y0）n+（）（y0）＝0，

消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，

所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，

所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，

因為n2+4m2≠0，

所以2m+1＝0，即m，

所以點N的橫坐標為定值．