Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 若對任意的正整數n，總存在正整數m，使得Sn=am ， 則稱{an}是“H數列”．
（1）若數列{an}的前n項和為Sn=2n（n∈N*），證明：{an}是“H數列”；
（2）設{an}是等差數列，其首項a1=1，公差d＜0，若{an}是“H數列”，求d的值；
（3）證明：對任意的等差數列{an}，總存在兩個“H數列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，

當n=1時，a1=S1=2．

當n=1時，S1=a1．

當n≥2時，Sn=an+1．

∴數列{an}是“H”數列

（2）解：Sn= = ，

對n∈N*，m∈N*使Sn=am，即 ，

取n=2時，得1+d=（m﹣1）d，解得 ，

∵d＜0，∴m＜2，

又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1

（3）證明：設{an}的公差為d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，

對n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，

cn=（n﹣1）（a1+d），

對n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，

則bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且數列{bn}和{cn}是等差數列．

數列{bn}的前n項和Tn= ，

令Tn=（2﹣m）a1，則 ．

當n=1時，m=1；當n=2時，m=1．

當n≥3時，由于n與n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）為非負偶數，m∈N*．

因此對n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}為H數列．

數列{cn}的前n項和Rn= ，

令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，則m= ．

∵對n∈N*，n（n﹣3）為非負偶數，∴m∈N*．

因此對n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}為H數列．

因此命題得證

【解析】（1）利用“當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 當n=1時，a1=S1”即可得到an ， 再利用“H”數列的意義即可得出．（2）利用等差數列的前n項和即可得出Sn ， 對n∈N* ， m∈N*使Sn=am ， 取n=2和根據d＜0即可得出；（3）設{an}的公差為d，構造數列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1 ， cn=（n﹣1）（a1+d），可證明{bn}和{cn}是等差數列．再利用等差數列的前n項和公式及其通項公式、“H”的意義即可得出．