Question

（2009•紅橋區二模）某電視臺娛樂節目，為了使節目的趣味性、知識性融于一體，采取了答題過關的形式，每位選手最多有5次答題的機會，選手累計答對3題進入過下一關的機會，答錯3題則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為

2

3

．
（Ⅰ）求選手甲恰好第一次、第三次、第五次答對題的概率；
（Ⅱ）求選手甲可進入下一關的概率；
（Ⅲ）設選手甲在答題過關時答題的個數為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據相互獨立事件的概率乘法公式解之即可；
（Ⅱ）由于答對3題者進入下一關，故可分為三類：一類是三題全對；一類是答4題，前3題錯一題，第4題答對；一類是答5題，前4題錯兩題，第5題答對，故可求求選手甲可進入下一關的概率；
（Ⅲ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．利用獨立重復試驗的概率公式分別求出相應的概率，從而得出ξ的分布列，進而可求概率．

解答：解：（Ⅰ）選手甲恰好第一次、第三次、第五次答對題的概率為(

2

3

)3•(

1

3

)2=

8

243

 …2分
（Ⅱ）選手甲答3道題可進入下一關的概率為(

2

3

)3=

8

27

；  …3分
選手甲答4道題可進入決賽的概率為

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

；…5分
選手甲答5道題可進入決賽的概率為

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

16

81

； …7分
∴選手甲可進入決賽的概率P=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …9分
（Ⅲ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．則有
P（ξ=3）=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=3）-P（ξ=5）=1-

1

3

-

8

27

=

10

27

，…12分
因此，有

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．          …14分．

點評：本題的考點是離散型隨機變量的期望與方差，主要考查等可能事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望，獨立重復試驗的概率公式，本題是一個綜合題目，考查的知識點比較全面，在應用獨立重復試驗的概率公式時，注意數字運算不要出錯．