Question

已知如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2AA₁=2，點E在棱AB上移動，點F為CD₁的中點．
（1）求三棱錐D₁-ADC的體積；
（2）當AE為多長時，EF∥平面DA₁D₁？并證明你的結論；
（3）求證：A₁D⊥D₁E．

Answer 1

分析：（1）利用長方體的性質可得DD₁⊥ABCD，S_△ADC，及三棱錐的體積計算公式即可得出；
（2）當AE=1時，即為相等AB的中點時，EF∥平面DA₁D₁． 取CD的中點G，連接FG，EG，利用三角形的中位線定理及平行四邊形的性質即可得出FG∥D₁D，EG∥AD，再利用線面平行的判定定理即可得出；
（3）由正方形ADD₁A₁得A₁D⊥AD₁，又AB⊥A₁D即可證明A₁D⊥對角面ABC₁D₁．

解答：解：（1）因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，
所以DD₁⊥ABCD，S△ADC=

1

2

×1×2=1，
所以VD1-ADC=

1

3

×S△ADC×1=

1

3

．             
（2）當AE=1時，EF∥平面DA₁D₁．      
證明如下：
取CD的中點G，連接FG，EG，則FG∥D₁D，EG∥AD，
又因為EG∩FG=G，所以平面EFG∥平面DA₁D₁，
因為EF?平面EFG，所以EF∥平面DA₁D₁．      
（3）因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，所以AB⊥ADD₁A₁，
又因為A₁D?平面ADD₁A₁，所以AB⊥A₁D．        
因為BC=AA₁，所以四邊形A₁ADD₁為正方形，所以A₁D⊥AD₁．
又因為AB∩AD₁=A，所以A₁D⊥平面ABC₁D₁；
又因為D₁E?平面ABC₁D₁，所以A₁D⊥D₁E．

點評：本題綜合考查了長方體的性質、線面垂直的判定與性質定理、線面與面面平行的判定與性質定理、三角形的中位線定理、平行四邊形及正方形的性質等基礎知識，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．