Question

已知函數f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，數列{a_n}滿足 a₁=a（a≠-1，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若數列{a_n}是常數列，求a的值；
（2）當a₁=4時，記bn=

an-2

a n-1

(n∈N*)，證明數列{b_n}是等比數列，并求出通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x）以及a_n+1=f（a_n）知，數列{a_n}是常數列時，a_n+1=a_n=a，代入整理，求出a的值．
（2）由題意求得b₁的值，根據定義證明數列{b_n}是等比數列，求出通項公式b_n；由b_n求出{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵f(x)=

4x-2

x+1

，a1=a，an+1=f(an)(n∈N*)，當數列{a_n}是常數列時，a_n+1=a_n=a，即a=

4a-2

a+1

，解得a=2，或a=1；∴所求實數a的值是1或2．
（2）∵a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴b₁=

2

3

，
∴b_n+1=

an+1-2

an+1-1

=

f(an)-2

f(an)-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2an-4

3an-3

=

2

3

×

an-2

an-1

，
即bn+1=

2

3

bn(n∈N*)．
∴數列{b_n}是以b1=

2

3

為首項，公比為q=

2

3

的等比數列，
于是bn=

2

3

(

2

3

)n-1=(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn=

an-2

an-1

，即

an-2

an-1

=(

2

3

)n，解得an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．
∴所求的通項公式an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．

點評：本題考查了數列與函數的綜合運用，本題中用函數解析式表示數列的遞推公式，推導數列的通項公式，計算量大，是較難的題目．